西安高新第一中學高中部   王東明
向量進入中學數(shù)學教材，是近幾十年來國內外數(shù)學教學改革的一個重要特征．從六十年代的新數(shù)運動到七十年代末的回到基礎，許多國家的數(shù)學課程都不同程度地涉及到平面向量．日本數(shù)學課程安排的必學內容雖然較少，但是卻安排不少的向量知識作為必學內容．前蘇聯(lián)也曾致力于用向量、變換等來處理歐氏幾何．進入二十一世紀，我國人教社編寫的高中《數(shù)學》實驗課本，將向量作為高中數(shù)學的必學內容，是一個重大舉措． 
平面向量在我國的這一次課程改革中之所以被列入高中數(shù)學必學內容，主要基于以下幾個原因：
1．平面向量這部分知識本身很重要，作為工具性知識廣泛應用于三角、解析幾何、立體幾何的教學中，可以利用向量處理傳統(tǒng)內容．例如在三角部分，利用向量證明正弦定理、余弦定理，既簡捷又易于接受；在立體幾何、解析幾何部分，利用空間向量證明直線與平面的性質定理，較好地處理直線與平面、平面與平面的位置關系以及平面上涉及相關點的軌跡問題等；在復數(shù)中，向量與復數(shù)結合，使復數(shù)更形象化，復數(shù)運算具有幾何意義．
2．平面向量是數(shù)形結合的橋梁．利用向量，可以將形的關系轉化為代數(shù)運算。通過建立有向線段、向量、坐標表示之間的聯(lián)系，使平行、垂直、投影、兩點間距離、線段定比分點，圖形平移等問題代數(shù)化．因此，通過本章的學習，要使學生深刻體會形數(shù)結合的數(shù)學思想．
3．平面向量的觀點、方法在物理和其它學科中有廣泛的應用，如在位移（三角形法則）、力的合成與分解（平行四邊形法則、平面向量基本定理）、功（向量的數(shù)量積）中的應用．更重要的是，通過學習要使學生明確之所以有這樣廣泛的應用，是因為數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的科學，來源于生產生活實際，又為解決生產生活實際中的問題服務．
由于平面向量是新教材增加的內容，無論是對于教師還是學生都是全新的。作為教師不僅要學習新的知識內容，而且要從思想方法上研究平面向量這一章所蘊含的實質，在原有的知識結構上建構新的認知，加強用向量的觀點研究以往教材的知識結構體系，培養(yǎng)學生運用向量解決問題的意識。關于向量的應用，本文后面會舉例說明，下面先談一下這一章教材的結構。
本章教材主要包括這樣三部分：首先介紹向量的幾何表示（包括向量的加、減、數(shù)乘）；然后通過平面向量基本定理這一橋梁（雖然沒有證明），引入向量的坐標表示，特別是突出了向量的數(shù)量積 與坐標形式 之間的關系，以及兩個向量平行與垂直的條件；最后是應用，主要包括線段的定比分點坐標公式，平移公式，正弦定理、余弦定理的證明。教材把解三角形的有關內容放在向量這一章，使三角函數(shù)這一部分內容與向量聯(lián)系起來，體現(xiàn)了教材在編寫時不分學科（代數(shù)、幾何）的特點。在這一章，向量的數(shù)量積是本章的一個重頭戲，因為建立了向量的數(shù)量積的概念后，從幾何意義上說，我們可以研究向量垂直以及向量之間的夾角，值得注意的是，教材中處理正弦定理、余弦定理的證明時，充分利用了向量的數(shù)量積的概念，雖然略顯奇特，但留給我們的是更多的思考。
那么，在教學中應該注意那些問題呢？ 
首先，注重基本概念和基本運算的教學 ，突出概念、定理的抽象概括過程。
向量這一章的內容雖然概念多，但大都有其物理上的來源，雖然抽象，卻與圖形有著密切的聯(lián)系，向量應用的優(yōu)越性也是非常明顯的。例如，向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來，而成為平面內的一自由向量，雖然是抽象的形式符號，依然可以以位移為背景圖象，理解上并不困難。又如在向量的加法教學中，如果回避知識的產生過程，按照課本給出加法的三角形法則，生搬概念從而迅速進入解題階段一上來，就會造成學生的生搬硬套，對知識只是一知半解，但是我們如果在教學中先提出問題：應該怎樣定義兩個向量的加法？大家在物理中能找到那些依據(jù)？那么，數(shù)學與物理的結合會使許多學生產生一種新鮮感與一股探求新知識的欲望，從而進入一種緊張的思維狀態(tài)，在大腦中積極主動的搜尋能抽象出兩個向量加法的實際背景。這樣學生不僅能正確的表述出怎樣求兩向量的和，而且還能發(fā)現(xiàn)三角形法則和平行四邊形法則這兩種方法的一致性。還有，在平面向量基本定理這一節(jié)的教學中，我們可以先結合物理中力的分解的知識，引導學生自己去總結出這一定理。等等。通過教學要求學生對概念理解深刻到位，運算要準確，尤其是向量互相垂直，平行的充要條件和平面向量基本定理應該熟練掌握，因為這是向量知識靈活應用的基礎。
其次，突出向量的應用意識.
新教材之所以增加向量的內容，不僅是因為教材內容的陳舊而增加新的內容以適用形式的需要，更是因為向量是解決問題的有效的思想方法，下面舉例說明。
1. 利用向量解決平面幾何問題.
例1  如圖1正方形OABC兩邊AB，BC的中點分別為D和E，求∠DOE的余弦值。
解：創(chuàng)造使用求角公式的條件，為此須求 ? 。
 = + = +  ，      = + = +  ， 
∴ ? =（ +  ）?（  + ）
           = ? + （ ? + ? ）+  ? 
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴  ? =0， ? =0。
又∵ = ，  =  ，
∴ ? = =| |2= 。
于是 ? = （| |2+| |2）=| |2，
又| |2=| |2+| |2=| |2+ | |2= | |2，
∴cos∠DOE= = = = 
2.利用向量解決立體幾何問題：
例2. 如圖2所示，已知四面體O－ABC中，M為BC的中點，N為AC的中點，Q為OB的中點，P為OA的中點，若AB=OC，證明: PM⊥QN。
分析：本題可以利用傳統(tǒng)的方法證明，也可以利用向量知識證明。
證明  ∵M是BC的中點，連結OM，
∴ = （ + ）。
同理由N是AC的中點，得 = （ + ）。
∵ = + 
= （ + + ）
      = （ － + ）
= （ + ），
 = + 
= （ + + ）
= （ － + ）
= （ + ）
=  （ － ）。
∴ ? = （ + ）? （ － ）
= （ － ）。
∵| |=| |，
∴ ? =0，即PM⊥QN。
評注：利用向量解幾何題，關鍵是將有關線段設為基底向量，不同的設法可出現(xiàn)不同的解法。
3.利用向量解決有關不等式、函數(shù)最值問題.
例3.證明柯西不等式   （當且僅當 時等號成立）
    證明：令 
（1） 當 或 時， ，結論顯然成立；
（2） 當 且 時，令 為 的夾角，則 
          . 又  
    （當且僅當 時等號成立）
    
    .（當且僅當 時等號成立）
例4、求函數(shù) 的最大值。
解：由于 
= ，
所以，可設  則有 ，
 = ，
向量數(shù)量積的性質得，  ，
即 的最大值是 。
評注：利用向量解有關不等式、函數(shù)的最值問題，主要是適當構造向量 ，然后利用向量數(shù)量積的性質   處理。
4. 利用向量求解軌跡問題. 
向量本身具有數(shù)與形結合的雙重身份，這為解決問題過程中充分運用數(shù)形結合的思想方法創(chuàng)造了條件。在解析幾何中這種數(shù)與形的思想方法尤為突出，而求動點軌跡方程既是解析幾何中的重點也是難點。
例5.若四邊形OABF為平行四邊形，其中O為坐標原點，F(xiàn)是拋物線 的焦點，B為拋物線上一點，求點A的軌跡方程。
分析：如圖（3），我們容易得到 + = ,

解：設點A（x，y）是軌跡上任意一點，且B（a，b），易得F(3,2)  ，則 =（-3，-2） ，  =（a-3,b-2）,  =(x-3,y-2)，則由 + = 得                       
    
整理，得     
即為所求的點A的軌跡方程.
評注：本題利用向量的加法解題，比利用平行四邊形的性質較容易，簡捷，并且其中運算量也不大。
5.利用向量解決有關三角函數(shù)的問題.
在教材中，利用向量證明正弦定理以及余弦定理已經讓我們看到了向量數(shù)量積的奇特作用，下面再舉一例說明。
例6.利用向量方法證明公式： 
證明：如圖4在單位圓中做向量 ，與x軸正向的夾角分別是α、β，則點A的坐標是 ，點B的坐標是 ，則 ，又 ，而 ，所以等式成立。
評注：這種證明方法主要利用向量數(shù)量積的定義及其坐標表示，通俗易懂，學生很容易掌握。
向量的應用是一種新的思想方法,由于常規(guī)視角的轉變，形成了新的探索途徑，容易激發(fā)所有學生的參與，探索新的解題途徑，展示各自的思維能力和創(chuàng)新意識。但是在教學中一定要注意，學生在一開始并不能很快進入狀態(tài)，在教學中不應操之過急,要注意控制難度以及逐步滲透。因此數(shù)學教學中我們努力做到：深鉆教材，追蹤數(shù)學家的思路；稚化模擬，展現(xiàn)教師思路；放手探索，激活學生思路．這樣教、學相得益彰，師生在互動學習中才能得到提高.