高新一中教師 楊天旭

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能，過(guò)程與方法，情感、態(tài)度、價(jià)值觀：

學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)，能體會(huì)出換底公式是一種運(yùn)算手段，它能很好地解決對(duì)數(shù)的運(yùn)算，而且是客觀現(xiàn)實(shí)的需要；通過(guò)學(xué)習(xí)，能體會(huì)出換底公式的推導(dǎo)的整個(gè)思維過(guò)程，以及這種推導(dǎo)的基本思想（即轉(zhuǎn)化的思想）；會(huì)運(yùn)用換底公式計(jì)算一些簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)值，化簡(jiǎn)一些簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)式，并從中歸納出一些有用的結(jié)論；能從對(duì)數(shù)換底公式得出的整個(gè)過(guò)程中體會(huì)出歸納事物規(guī)律的一些特征，從指數(shù)與對(duì)數(shù)的相互轉(zhuǎn)化中感悟出轉(zhuǎn)化思想的重要性，從把不同底數(shù)的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為同一底數(shù)的對(duì)數(shù)的過(guò)程中體會(huì)出事物的辯證統(tǒng)一性，以明白化歸思想是數(shù)學(xué)解題中的重要思想方法；從解應(yīng)用題中體會(huì)出數(shù)學(xué)就在我們身邊，數(shù)學(xué)有很強(qiáng)的實(shí)用性，以增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣；要讓學(xué)生感受到本節(jié)課學(xué)有所獲，激發(fā)學(xué)生用積極的態(tài)度來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

【教材分析】

本節(jié)的主要內(nèi)容就是對(duì)數(shù)換底公式。它是對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的延續(xù)，同時(shí)又具有自身的獨(dú)特性。它既是對(duì)前面對(duì)數(shù)運(yùn)算的鞏固，又是對(duì)指數(shù)與對(duì)數(shù)相互轉(zhuǎn)化的再理解，還將對(duì)后面知識(shí)的學(xué)習(xí)有直接影響。值得一提的是它的產(chǎn)生來(lái)源于客觀現(xiàn)實(shí)，因計(jì)算而產(chǎn)生了換底公式。本節(jié)內(nèi)容的思想性主要體現(xiàn)在“轉(zhuǎn)化”上，有指數(shù)與對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化，還有不同底的對(duì)數(shù)向同底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化。

由于對(duì)數(shù)換底公式較為抽象，讓學(xué)生很難一下接受，故應(yīng)采用從特殊到一般的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)它。正是由于它的抽象性，所以從實(shí)際問(wèn)題中引出比較好。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

（1）重點(diǎn)：換底公式得出的過(guò)程。

重點(diǎn)的突破：從實(shí)際出發(fā)，以加深學(xué)生的印象；從實(shí)例中提出問(wèn)題，通過(guò)對(duì)一個(gè)個(gè)問(wèn)題的解決，體會(huì)出對(duì)數(shù)換底的意義和方法，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這樣就比較容易上升到一般規(guī)律，換底公式的得出就不困難了。

（2）難點(diǎn)：推導(dǎo)換底公式過(guò)程中的“指、對(duì)轉(zhuǎn)化”意識(shí)和對(duì)指數(shù)冪的換底想法。

難點(diǎn)的解決：引導(dǎo)學(xué)生先把對(duì)數(shù)中的底數(shù)轉(zhuǎn)移？這便做到了換底的基本要求。進(jìn)而提醒學(xué)生回憶學(xué)過(guò)的知識(shí)中有哪些可以幫我們來(lái)實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)移？原來(lái)可以把對(duì)數(shù)的底數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)冪的底數(shù)；也可以利用兩邊取對(duì)數(shù)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。這樣一來(lái)，難點(diǎn)就好解決了。

【課時(shí)建議】

由于只有一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，建議用一個(gè)課時(shí)。

【學(xué)情分析及學(xué)法指導(dǎo)】

（1）如果學(xué)生前面的基礎(chǔ)較好，可采用教師點(diǎn)撥，學(xué)生討論和自行解決問(wèn)題為主的學(xué)習(xí)方法。其間教師要把屋一個(gè)度，必要的講解和敘述要有，主線和重點(diǎn)要突出，思維過(guò)程不僅要體現(xiàn)，還要提煉歸納，目標(biāo)要明確。建議學(xué)生采用歸納、總結(jié)的學(xué)習(xí)線路，要求學(xué)生注意思維過(guò)程。

    （2）如果學(xué)生前面的基礎(chǔ)不太好，或思維能力相對(duì)較弱，建議教師采用多引導(dǎo)、多講的辦法，學(xué)生只需作適當(dāng)?shù)慕涣骱陀懻摷纯?，學(xué)生的學(xué)習(xí)方法因教師課堂教授的情況來(lái)定。

【教學(xué)建議】

1．問(wèn)題提出：

從實(shí)際出發(fā)，提出與本課有密切關(guān)聯(lián)的問(wèn)題。問(wèn)題的提出要在很大程度上承擔(dān)導(dǎo)出主題的任務(wù)。由于是數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)，其思維性較強(qiáng)，所以問(wèn)題的邏輯性要強(qiáng)，讓學(xué)生嘗試推理的東西要多一些。

2．實(shí)例分析：

這里的實(shí)例引入要快，重點(diǎn)不在實(shí)例的內(nèi)容上，而在實(shí)例的意義上，所以建議從某個(gè)實(shí)例中抽出你認(rèn)為對(duì)本課有用的局部就可以了。

在換底公式的應(yīng)用中，實(shí)例要舉得恰當(dāng)，既要有較好的實(shí)際意義，更要體現(xiàn)出對(duì)數(shù)計(jì)算的特點(diǎn)。建議舉一個(gè)增長(zhǎng)問(wèn)題的例子。

3．閱讀理解：

建議從以下幾個(gè)方面注重學(xué)生的閱讀理解：

（1）指數(shù)與對(duì)數(shù)關(guān)系的理解，即對(duì)數(shù)就是指數(shù)；

（2）運(yùn)用計(jì)算器求對(duì)數(shù)的理解，即計(jì)算器只能求底數(shù)為10（或e）的對(duì)數(shù)；

（3）兩邊取對(duì)數(shù)的理解，即從指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性上去理解；

（4）指數(shù)換底的理解，即把 換成以a為底的指數(shù)冪，可以運(yùn)用公式 來(lái)實(shí)現(xiàn)。

【教學(xué)過(guò)程】

換底公式

（一）教學(xué)內(nèi)容：

    1.前言：

    我們先來(lái)看一個(gè)實(shí)際問(wèn)題。

2．問(wèn)題提出與問(wèn)題解決：

我國(guó)現(xiàn)有人口約13億，如果往后人口年平均增長(zhǎng)率為1%，預(yù)計(jì)經(jīng)過(guò)多少年我國(guó)人口將達(dá)到18億？

在教師的指導(dǎo)下，師生共同解答：

解：設(shè)經(jīng)過(guò)x年后我國(guó)人口達(dá)到18億，則

18 =

整理得  。

教師提問(wèn)：我們?nèi)绾蝸?lái)求x ？

學(xué)生分組討論，思考求x的思路，并拿出解決問(wèn)題的方案。

問(wèn)題的解決：

學(xué)生可能提出的方案：

（1）用嘗試的辦法去試x的可能取值；

（2）把指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)，用求對(duì)數(shù)的辦法；

（3）用“兩邊取對(duì)數(shù)”的方法。

教師評(píng)價(jià)：第一條思路可以，但在嘗試的時(shí)候范圍過(guò)大，可能需要很久才能得到你要的x值，不宜使用。第二條思路較好，可以繼續(xù)。第三條思路也可以，可以繼續(xù)。

如果是第二條思路，教師繼續(xù)設(shè)問(wèn)。

師問(wèn)：可否先把指數(shù)冪 的底數(shù)1.01轉(zhuǎn)換成以10為底數(shù)的指數(shù)冪，然后再把指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)？

生問(wèn)：為什么要這樣？

師答：如若這樣，x就可以表成以10為底的對(duì)數(shù)，就可以用計(jì)算器求得x值，以解決實(shí)際問(wèn)題。

（可能學(xué)生已經(jīng)找到了計(jì)算的辦法，若如此，讓學(xué)生演示出來(lái)；如果沒(méi)有，教師啟發(fā)、引導(dǎo)，把問(wèn)題解決）

師問(wèn)：如何實(shí)施呢？

由學(xué)生討論并嘗試解決。

估計(jì)：學(xué)生獨(dú)自解決有困難。

問(wèn)題解決：

由  得 ，根據(jù)指數(shù)運(yùn)算即得  。

把指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)，可得 ，所以 ，用計(jì)算器可得  = 32.70。即x = 32.70。

答：預(yù)計(jì)經(jīng)過(guò)33年我國(guó)人口將達(dá)到18億。

 

即  ，

分析：由解決的過(guò)程可以看出，有些環(huán)節(jié)學(xué)生是很難獨(dú)自度過(guò)的，如怎么想到把 中的指數(shù)冪變成以10為底的指數(shù)冪，這對(duì)學(xué)生的思維要求是很高的。這就要求教師給予學(xué)生多引導(dǎo)、啟發(fā)，幫助學(xué)生渡過(guò)難關(guān)。

如果是第三條思路，即學(xué)生用“兩邊取對(duì)數(shù)”的方法來(lái)做，教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)做下去。如：

對(duì)等式 的兩邊取以10位底數(shù)的對(duì)數(shù)，可得

      

運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算可得 ，從而得到 ，再用科學(xué)計(jì)算器就能得到x的取值，即x = 32.70。以下同上。

這樣做完后，似乎有一個(gè)問(wèn)題，即沒(méi)有把學(xué)生引到求 上，似乎起不到引出換底公式的作用。

其實(shí)，教師可以繼續(xù)設(shè)一問(wèn)：如果我們把 化成對(duì)數(shù)，即x = ，那么，我們能得出什么結(jié)論呢？

答：        。

繼續(xù)問(wèn)：這個(gè)結(jié)論有什么意義呢？（讓學(xué)生回答）

答：這個(gè)結(jié)論除了能幫助我們解決今天這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，還可以在對(duì)數(shù)運(yùn)算中起到非常大的作用。今天，我們就來(lái)學(xué)習(xí)這個(gè)結(jié)論，并把這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為對(duì)數(shù)換底公式。（教師板書(shū)課題）

教師：上面問(wèn)題的解決，關(guān)鍵是把對(duì)數(shù)的底數(shù)換成了我們需要的底數(shù)。那么，對(duì)數(shù)的底數(shù)可以換成任何你想要的且符合條件的底數(shù)嗎？

3．換底公式的推導(dǎo)：

繼續(xù)提問(wèn)：

你能把 變換成以a 為底的對(duì)數(shù)嗎？

學(xué)生將會(huì)很自然的推出結(jié)論：

教師緊跟提問(wèn)：這個(gè)式子的成立有條件嗎？

學(xué)生回答： 。（學(xué)生在回答中可以相互補(bǔ)充）

教師：這就是我們今天要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)換底公式。請(qǐng)同學(xué)們默記一分鐘。

4．換底公式的應(yīng)用訓(xùn)練舉例：

例1計(jì)算：

（1）       （2）

第一例教師解答，第二例學(xué)生練習(xí)。

解（1）分析：觀察式子特征發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都是3的整數(shù)次冪，可否把對(duì)數(shù)的底數(shù)換成3為底的對(duì)數(shù)呢？解答如下：

=  = 。

注：在運(yùn)用換底公式時(shí)，不一定總換成10為底的對(duì)數(shù)，這里可靈活處理，結(jié)合題目的情況來(lái)定。

解（2）……（學(xué)生完成，師生評(píng)價(jià)）

例2．我國(guó)現(xiàn)有人口13億，如果往后人口年平均增長(zhǎng)率為0.1%，預(yù)計(jì)經(jīng)過(guò)多少年我國(guó)人口將達(dá)到18億？

略解：設(shè)經(jīng)過(guò)x年后我國(guó)人口達(dá)到18億，則

18 = 。

可得 ，用科學(xué)計(jì)算器可得x = 325. 585。

答：預(yù)計(jì)經(jīng)過(guò)326年我國(guó)人口將達(dá)到18億。

教師評(píng)價(jià)：通過(guò)我們的計(jì)算可以知道，只要我們國(guó)家的人口年平均增長(zhǎng)率控制在0.1%以內(nèi)，那么要經(jīng)過(guò)326年我國(guó)人口才可能突破18億。計(jì)劃生育是我國(guó)的一項(xiàng)國(guó)策，如果我們以科學(xué)的數(shù)據(jù)為依據(jù)，指導(dǎo)性地去抓這件事，一定會(huì)有偉大的勝利。通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的解決，我們也深深感覺(jué)到數(shù)學(xué)的重大意義，為此，我們應(yīng)該滿腔熱情地去學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)，將來(lái)為祖國(guó)做出更大的貢獻(xiàn)。

5．小結(jié)：

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)的換底公式，同學(xué)們既要知道學(xué)習(xí)它的意義，還要學(xué)會(huì)使用它。在推導(dǎo)換底公式的過(guò)程中，出現(xiàn)了“指、對(duì)轉(zhuǎn)化”的思想方法，要注意掌握，還有指數(shù)冪的換底方法，要多體會(huì)。換底公式主要應(yīng)用在對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)求值、運(yùn)算公式的推導(dǎo)和實(shí)際問(wèn)題中的對(duì)數(shù)計(jì)算等三個(gè)方面，應(yīng)用時(shí)要有目的性，如換以什么為底的對(duì)數(shù)為好等。

6．作業(yè)布置：

（1）課本中87頁(yè)的練習(xí)第4題；

（2）課本中88頁(yè)的習(xí)題（A組）。

 

（二）教學(xué)流程：

（三）教學(xué)反思：

對(duì)于課本中的“兩邊取對(duì)數(shù)”方法，我認(rèn)真反思了很久，有些個(gè)人的感受。課本這樣做的理由是此前課本中有這樣的說(shuō)法：“對(duì)任何正數(shù)N，log _a N是存在的，并且由于指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以log _a N也是唯一的?！边@就保證了“對(duì)兩個(gè)相等的正數(shù)，兩邊取相同底數(shù)的對(duì)數(shù)后仍相等”是站得住腳的，也就保證了“兩邊取對(duì)數(shù)”的方法是有據(jù)可依的。

個(gè)人認(rèn)為，課本這樣做也是合理的。但這種做法不太適宜學(xué)生的接受，因?yàn)樗乃季S跨度較大，多數(shù)學(xué)生不宜想到這樣做的理由，所以效果不一定會(huì)好。如果能過(guò)渡一下就好了。我想改變一下做法，讓它仍然能夠解決問(wèn)題，同時(shí)學(xué)生也容易接受。大家知道，在“指、對(duì)互化”中，指數(shù)冪的底數(shù)就是對(duì)數(shù)的底數(shù)，所以我們可以把對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)，而后對(duì)指數(shù)冪進(jìn)行換底，再把指數(shù)冪換回到對(duì)數(shù)，就達(dá)到了目的。這樣做，也可以引出指數(shù)冪的換底公式，為學(xué)生的思考與拓展作了鋪墊。

再者，課本的引入較為簡(jiǎn)單，突然出現(xiàn)一個(gè)對(duì)數(shù)讓學(xué)生去計(jì)算，沒(méi)有來(lái)龍，也不好確定去脈。個(gè)人在同行們的建議下，把引入變成了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，從實(shí)際問(wèn)題中提出關(guān)于一個(gè)對(duì)數(shù)的計(jì)算，從而引出問(wèn)題，導(dǎo)入主題。當(dāng)然，還有很多不成熟的地方，有待同行批評(píng)指正。

課后反思：

上課后，出乎我的意料，學(xué)生在最困難的“換底”處理上，還是首先想到的“兩邊取對(duì)數(shù)”的思想方法。看來(lái)，教材編排是有科學(xué)根據(jù)的，對(duì)“兩邊取對(duì)數(shù)”的思想方法實(shí)現(xiàn)作鋪墊是很有必要的。

其實(shí)，關(guān)于變換指數(shù)冪的底數(shù)，教材在此之前也有鋪墊，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)了公式 。但從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，學(xué)生更愿意接受“兩邊取對(duì)數(shù)”的方法。