【教學(xué)目標(biāo)】

（一）.知識(shí)和能力

1.學(xué)會(huì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法。

2.掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法。

（二）.過程和方法

(1)通過電腦演示，引導(dǎo)學(xué)生探究、分析圖形的幾何特征，再用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

(2)學(xué)生經(jīng)歷圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，逐步形成在坐標(biāo)系下用坐標(biāo)法解幾何問題的能力，掌握自主學(xué)習(xí)的方法和形成合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

(3)通過例題練習(xí)的思考驗(yàn)算，掌握求圓的方程的方法，提高知識(shí)的應(yīng)用能力。

（三）.情感態(tài)度和價(jià)值觀：

(1)教學(xué)中運(yùn)用觀察、類比、聯(lián)想、猜測、檢驗(yàn)等合情推理方法，運(yùn)算能力和邏輯推理能力以及思維品質(zhì)得到體驗(yàn)和提升。

(2)培養(yǎng)勇于探索、堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì)，通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)感悟數(shù)學(xué)中的曲線美、方程美，激發(fā)創(chuàng)造美的意識(shí)。

【教材分析】

1.教學(xué)對象分析

圓是學(xué)生比較熟悉的曲線。在初中幾何課中已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的性質(zhì)，這里只是用解析法研究它的方程與其他圖形的位置關(guān)系及一些應(yīng)用。而在前一節(jié)直線的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)感知了解析法、幾何條件與代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化的基本思想。對此，教師可在課堂上通過各種教學(xué)方法，幫助學(xué)生經(jīng)歷如下過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。

2.教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容首先是回顧初中已有的圓的有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上引入確定圓的條件，并提出問題：在平面直角坐標(biāo)系中，怎樣用坐標(biāo)的方法刻畫圓呢？過度到下一個(gè)問題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，這是本課時(shí)的核心內(nèi)容，通過圓的定義，利用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出方程，需要讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)方程的形式特點(diǎn)和參數(shù)a、b、r的意義。最后通過例題讓學(xué)生分析探究，學(xué)會(huì)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。另外應(yīng)注意練習(xí)2中通過方程中數(shù)量關(guān)系的分析，明確形似圓的方程，但不表示圓的問題，體會(huì)數(shù)與形的密切聯(lián)系。

以上的方法應(yīng)盡可能在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，由學(xué)生自己比較、歸納得到。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法。推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是一個(gè)幾何條件代數(shù)化的過程，體現(xiàn)了解析幾何的根本方法；根據(jù)具體幾何條件寫出圓的方程是本節(jié)教材的主要解決的問題；其它幾何條件轉(zhuǎn)化為圓的定義的條件再求圓的方程需要對具體幾何條件加工分析，聯(lián)系圓的定義和幾何性質(zhì)，是培養(yǎng)學(xué)生自主探究意識(shí)，發(fā)展思維，提高只是綜合應(yīng)用能力的良好素材。

難點(diǎn)：求圓的方程時(shí)幾何條件轉(zhuǎn)化的思維過程和代換方法。由圓的定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是幾何關(guān)系代數(shù)化的過程，對解析幾何僅學(xué)過直線的高一學(xué)生來說，還不是很熟悉；其它幾何條件化歸為圓的定義的條件更需要較強(qiáng)的綜合分析與應(yīng)用能力和聯(lián)想類比轉(zhuǎn)化的思維意識(shí)，要求較高。

【課時(shí)建議】  一課時(shí)

(五)學(xué)法指導(dǎo)：在課前必須先做好初中圓的認(rèn)識(shí)有關(guān)知識(shí)的復(fù)習(xí)，并預(yù)習(xí)本節(jié)教材，讓學(xué)生帶著疑問聽課，以提高聽課效率。知識(shí)的形成和問題的解決采取學(xué)生自主研究和合作探究的學(xué)習(xí)方法；注意由已有知識(shí)研究形成新知識(shí)以及聯(lián)想、類比的思維方法。

【教學(xué)建議】

（一）．“教學(xué)策略”建議

1.這是一節(jié)介紹新知識(shí)的課，而且本節(jié)內(nèi)容還非常有利于展現(xiàn)知識(shí)的形成過程，所以本節(jié)力求“過程、結(jié)論并重；知識(shí)、能力、思想方法并重”。

2.在展現(xiàn)知識(shí)的形成過程中，盡量避免學(xué)生被動(dòng)接受，而采取探究式，引導(dǎo)學(xué)生探索，重視探索過程。

在整個(gè)探求過程中，充分利用了“舊知識(shí)”及“新知識(shí)的形成過程”，并利用它探求新知識(shí)。這樣的過程，既是學(xué)生獲得新知識(shí)的過程，更是培養(yǎng)學(xué)生能力的過程。

（二）.“提出問題”建議:可通過以下兩種方式提出問題，引入課題

1．  以直線類比：在解析幾何中，我們學(xué)習(xí)了直線，把它放在坐標(biāo)系內(nèi)可以求出它的方程，根據(jù)方程利用代數(shù)方法討論直線的很多性質(zhì)。圓是一種非常優(yōu)美的平面圖形，我們能不能求出它的方程呢？我們現(xiàn)在就研究這個(gè)問題。

2．  
以實(shí)物展示：用投影展示幾幅圓的圖片，然后提出問題：標(biāo)志牌的數(shù)字應(yīng)如何確定位置？

 

汽車變速箱中的齒輪上兩齒間的距離是多少？若我們能求出圓的方程，就可以解決這些問題，本節(jié)課開始我們就研究圓的方程。

(三).“問題探究”建議：

1.確定圓的條件：復(fù)習(xí)初中圓的定義，圓心、半徑兩個(gè)條件可確定圓，圓心—定位置，半徑—定大小。

2.推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：這是本節(jié)課的核心內(nèi)容，首先引導(dǎo)學(xué)生將圓放在坐標(biāo)系中，設(shè)定圓心坐標(biāo)C（a，b）和半徑r，設(shè)圓上任意一點(diǎn)為P（x，y），提出問題：點(diǎn)P，C與r有什么關(guān)系？能用坐標(biāo)表示嗎？學(xué)生探究，得出關(guān)系式。然后化簡形成圓的方程。在推導(dǎo)過程中滲透軌跡思想，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程形式。另外給出圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

(四).“知識(shí)應(yīng)用”建議：求圓的方程是本節(jié)主要解決的問題，教材安排例1可讓學(xué)生直接口答；例2給出了直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，需要學(xué)生聯(lián)系中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式求出圓心坐標(biāo)和半徑，再寫出圓的方程；此外可增加圖形幾何條件轉(zhuǎn)化，化歸為圓再求方程的例子，如：已知直角三角形ABC中斜邊AB的端點(diǎn)A的坐標(biāo)（－2，1），B的坐標(biāo)為(4，3)，直角頂點(diǎn)C的在什么曲線上？你能求出它的方程嗎？以培養(yǎng)學(xué)生新舊知識(shí)聯(lián)系、條件轉(zhuǎn)化化歸的意識(shí)。

【評價(jià)建議】：

(一).學(xué)業(yè)評價(jià)：

1.     寫出下列各圓的方程：

（1）圓心在原點(diǎn)，半徑為5；   答案： 。

（2）經(jīng)過點(diǎn)P(5,1)，圓心在點(diǎn)C(6，2）;   答案： 。

（3）以A(2,5)，B(0,-1)為直徑的圓。   答案： 。

2.     下列方程分別表示什么圖形？

（1） ；    答案：一個(gè)點(diǎn)（0，0）。

（2） ；答案：圓心在（1，-2），半徑為 的圓。

（3） ；答案：圓心在原點(diǎn)（0，0），半徑為1的圓在x軸及其上方的部分。

補(bǔ)充練習(xí)：可適當(dāng)補(bǔ)充一些綜合性練習(xí)

A組

1.求圓心在直線 上，且經(jīng)過兩點(diǎn)P（1，0），Q(-1，2)的圓的方程。

提示：圓心也在PQ的垂直平分線 上，聯(lián)立 與 解出圓心，再求出半徑。  答案：

2.方程 表示什么曲線？畫出它的圖形。

答案：圓 的上半部分。

B組

1.求圓心在直線2x-y-3=0上，且過點(diǎn)M(5，2)和N(3，-2)的圓的方程.

提示：圓心也在MN的垂直平分線 上，聯(lián)立 與 解出圓心，再求出半徑。  答案：

2.已知等腰三角形頂點(diǎn)為A（2，1），底邊一個(gè)端點(diǎn)為B（1，-2）,求另一底邊端點(diǎn)C的在什么曲線上？你能求出它的方程嗎？

提示：點(diǎn)C到A的距離與點(diǎn)B到A的距離相等。   答案 ： 。

可根據(jù)學(xué)生程度選用.

(二).課堂觀察

1.舊知識(shí)回顧提問,例題1,2解答思路、方法提問，評價(jià)學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)以及新知識(shí)掌握狀況；2.通過推到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和補(bǔ)充例題思路探究學(xué)生討論和發(fā)言的觀察評價(jià)探究表現(xiàn)，思維能力，合作意識(shí)。

 

 

教學(xué)設(shè)計(jì)案例

2．1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

西安高新第一中學(xué)  梁杰

（一）教學(xué)前奏：

1.教學(xué)對象分析

圓是學(xué)生比較熟悉的曲線。在初中幾何課中已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的性質(zhì)，這里只是用解析法研究它的方程與其他圖形的位置關(guān)系及一些應(yīng)用。對此，教師可在課堂上通過各種教學(xué)方法，幫助學(xué)生經(jīng)歷如下過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方一、2.教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容首先是回顧初中已有的圓的有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上引入確定圓的條件，并提出問題：在平面直角坐標(biāo)系中，怎樣用坐標(biāo)的方法刻畫圓呢？過度到下一個(gè)問題：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，這是本課時(shí)的核心內(nèi)容，通過圓的定義，利用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出方程，需要讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)方程的形式特點(diǎn)和參數(shù)a、b、r的意義。最后通過例題讓學(xué)生分析探究，學(xué)會(huì)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。另外應(yīng)注意練習(xí)2中通過方程中數(shù)量關(guān)系的分析，明確形似圓的方程，但不表示圓的問題，體會(huì)數(shù)與形的密切聯(lián)系。

以上的方法應(yīng)盡可能在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下，由學(xué)生自己比較、歸納得到。

3．教學(xué)任務(wù)分析

（1）.知識(shí)和能力

①學(xué)會(huì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法。

②掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法。

(2).過程和方法

①通過電腦演示，引導(dǎo)學(xué)生探究、分析圖形的幾何特征，再用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進(jìn)而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

②學(xué)生經(jīng)歷圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，逐步形成在坐標(biāo)系下用坐標(biāo)法解幾何問題的能力，掌握自主學(xué)習(xí)的方法和形成合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

③通過例題練習(xí)的思考驗(yàn)算，掌握求圓的方程的方法，提高知識(shí)的應(yīng)用能力。

(3).情感態(tài)度和價(jià)值觀：

①教學(xué)中運(yùn)用觀察、類比、聯(lián)想、猜測、檢驗(yàn)等合情推理方法，運(yùn)算能力和邏輯推理能力以及思維品質(zhì)得到有體驗(yàn)和提升。

②培養(yǎng)勇于探索、堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì)，通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)感悟數(shù)學(xué)中的曲線美、方程美，激發(fā)創(chuàng)造美的意識(shí)。

（二）．教學(xué)過程

1.情境引入，提出問題：

在解析幾何中，我們學(xué)習(xí)了直線，把它放在坐標(biāo)系內(nèi)可以求出它的方程，根據(jù)方程利用代數(shù)方法討論直線的很多性質(zhì)。圓是一種非常優(yōu)美的平面圖形，我們能不能求出它的方程呢？我們現(xiàn)在就研究這個(gè)問題。

2.探索研究，得出結(jié)論：

在初中幾何課中已經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的知識(shí)，什么是圓？（提問學(xué)生）

確定圓的基本條件為圓心和半徑，圓心—定位置，半徑—定大小。

   提出問題：在平面直角坐標(biāo)系中，怎樣用坐標(biāo)的方法刻畫圓呢？

設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b)，半徑為r。（其中a、b、r都是常數(shù)，r>0），設(shè)P (x,y)為這個(gè)圓上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P、C與r有什么關(guān)系？能用坐標(biāo)表示嗎？,由兩點(diǎn)間的距離公式讓學(xué)生寫出點(diǎn)P適合的條件     ①

化簡可得：        ②

                                                                                                                                                                                                                                           

 

 

 

引導(dǎo)學(xué)生自己證明 為圓的方程，得出結(jié)論。

方程②就是圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

學(xué)生思考：圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程:  .

3.知識(shí)應(yīng)用，解題研究

例1．求以為 圓心,半徑等于3的圓的方程.

提問學(xué)生，說出圓的方程。

教師評講，以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為公式，找出圓心坐標(biāo)和半徑大小，代入公式，得出方程。

例2．已知兩點(diǎn)M₁（4，9）和M₂（6，3），求以M₁M₂為直徑的圓的方程。

   引導(dǎo)分析：從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程   可知，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可用確定 三個(gè)參數(shù)。如何求出a，b，r.（學(xué)生自己運(yùn)算解決）

    學(xué)生總結(jié)，已知圓的一條直徑的兩端點(diǎn)，如何求圓心和半徑。

練習(xí)1 寫出下列圓的方程

（1）       圓心在原點(diǎn)，半徑為5．

（2）       經(jīng)過點(diǎn)P(5，1)，圓心在點(diǎn)Ｃ(6，－2)。

（3）       以A(2，5)，B(０，－１)為直徑的圓。

答案

（１） ;    (2) ;  (3) .

例3．已知直角三角形ABC的斜邊AB的端點(diǎn)A的坐標(biāo)（－2，1），B的坐標(biāo)為(4，3)，直角頂點(diǎn)C的在什么曲線上？你能求出它的方程嗎？

師生共同分析: 讓學(xué)生思考：直角頂點(diǎn)C所在的曲線是什么圖形？聯(lián)系圓的性質(zhì)，是以AB為直徑的圓，學(xué)生自行求出方程。

練習(xí)2

1.求圓心在直線 上，且經(jīng)過兩點(diǎn)P（1，0），Q(-1，2)的圓的方程。

提示：圓心也在PQ的垂直平分線 上，聯(lián)立 與 解出圓心，再求出半徑。  答案：

2.方程 表示什么曲線？畫出它的圖形。

答案：圓 的上半部分。

總結(jié)歸納：根據(jù)確定圓的要素，以及題設(shè)條件，分別求出圓心坐標(biāo)和半徑大小，然后再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

4.思考與探究：

下列方程分別表示什么圖形

（1） ；     （2） ；     （3） 。

答案：（1）點(diǎn)O（0，0）

     （2）圓心為（1，-2），半徑為 的圓；

     （3）圓 的在 軸及其上方的部分。

第2題學(xué)生思考、討論回答，分析坐標(biāo) 的范圍，體會(huì)方程與曲線的關(guān)系。實(shí)現(xiàn)利用數(shù)量關(guān)系研究幾何圖形的過程。

5.課堂小結(jié)：

1、  圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2、  根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。

3、  由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究圓的幾何特征。

6.作業(yè)：

課本 習(xí)題2.2第1、2題

補(bǔ)充習(xí)題

1.求圓心在直線2x-y-3=0上，且過點(diǎn)M(5，2)和N(3，-2)的圓的方程.

提示：圓心也在MN的垂直平分線 上，聯(lián)立 與 解出圓心，再求出半徑。  答案：

2.已知等腰三角形頂點(diǎn)為A（2，1），底邊一個(gè)端點(diǎn)為B（1，-2）,求另一底邊端點(diǎn)C的在什么曲線上？你能求出它的方程嗎？

提示：點(diǎn)C到A的距離與點(diǎn)B到A的距離相等。   答案 ：

7.教學(xué)反思：本課時(shí)教學(xué)流程中，以直線類比提出問題自然流暢，也預(yù)示了圓的研究方法與直線相似；問題探究過程中以尋求圓上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)（x, y）的關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了幾何條件坐標(biāo)化，推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；例題練習(xí)有效地使知識(shí)和方法得到了實(shí)踐、形成和落實(shí)，通過練習(xí)、討論、提問等方式的觀察性評價(jià)和檢測性評價(jià)。

教學(xué)方式上由已有知識(shí)引出、推導(dǎo)新知識(shí)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律；問題探究和例題思路分析的教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了自主學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)、探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)理念，對發(fā)展學(xué)生的思維，提高能力起到了一定的作用。

但在教學(xué)過程中，學(xué)生活動(dòng)的全面性不夠；由于缺少曲線與方程的理論和軌跡思想，知識(shí)的完備性和深度不足；容量偏大，需合理安排時(shí)間。